Kiến thức cần nắm:
Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả, bài này ở mức độ vừa phải.
Điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[x \ne k\pi ;k \in Z\]
Áp dụng công thức lượng giác cơ bản:
\[\begin{array}{l}
2\sin x + 2\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 2\sin x.\cos x + 2 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2\cos x = 2{\sin ^2}x.\cos x + 2\sin x \\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 2\sin x + 2\cos x - 2{\sin ^2}x.\cos x = 0 \\
\Leftrightarrow 2\sin x.\left( {\sin x - 1} \right) + 2\cos x.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow 2\sin x.\left( {\sin x - 1} \right) + 2\cos x.\left( {1 - \sin x} \right).\left( {1 + \sin x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x - 2\cos x - 2\cos x.\sin x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x - 1 = 0{\rm{ (1)}} \\
2\left( {\sin x - \cos x} \right) - 2\cos x.\sin x = 0{\rm{ (2)}} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
2\sin x + 2\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 2\sin x.\cos x + 2 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2\cos x = 2{\sin ^2}x.\cos x + 2\sin x \\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 2\sin x + 2\cos x - 2{\sin ^2}x.\cos x = 0 \\
\Leftrightarrow 2\sin x.\left( {\sin x - 1} \right) + 2\cos x.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow 2\sin x.\left( {\sin x - 1} \right) + 2\cos x.\left( {1 - \sin x} \right).\left( {1 + \sin x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x - 2\cos x - 2\cos x.\sin x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x - 1 = 0{\rm{ (1)}} \\
2\left( {\sin x - \cos x} \right) - 2\cos x.\sin x = 0{\rm{ (2)}} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Giải phương trình (1):
\[\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z\]
Giải phương trình (2):
\[\sin x - \cos x - \sin x.\cos x = 0\]
Đây là phương trình thuộc dạng tựa đối xứng. Cách giải các bạn xem lại
Đặt:
\[t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\]
\[t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\]
Điều kiện của t:
\[ - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \]
Suy ra:
\[{t^2} = 1 - 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\]
Thay vào phương trình, ta được:
\[\begin{array}{l}
{t^2} = 1 - 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2} \\
t - \frac{{1 - {t^2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow 2t - 1 + {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 1 = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1 - \sqrt 2 (l) \\
t = - 1 + \sqrt 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x - \frac{\pi }{4} = \pi - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{t^2} = 1 - 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2} \\
t - \frac{{1 - {t^2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow 2t - 1 + {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 1 = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1 - \sqrt 2 (l) \\
t = - 1 + \sqrt 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x - \frac{\pi }{4} = \pi - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Vậy phương trình có ba nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét
Cám ơn bạn đã góp ý cho Gia sư Khánh Hòa. Chúc bạn sức khỏe và thành công.