Giải phương trình \[\left[ {1 - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)} \right].\sin 4x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {10\pi - 2x} \right)\]

Kiến thức cần có:

• Công thức cộng của hàm sin:

                 \[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\]

Mức độ khó: theo đánh giá chủ quan của tác giả, bài tương đối dễ.

Đầu tiên ta áp dụng công thức cộng của hàm sin:
\[\begin{array}{l}
 \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 4x} \right) = \sin \frac{{3\pi }}{2}.c{\rm{os}}4x - c{\rm{os}}\frac{{3\pi }}{2}.\sin 4x \\
  = \left( { - 1} \right).c{\rm{os}}4x - 0.\sin 4x \\
  =  - c{\rm{os}}4x \\
 \end{array}\]
Áp dụng công thức hạ bậc cho
\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x\]

ta được:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x = \frac{{1 + c{\rm{os}}4x}}{2} \Rightarrow 1 + c{\rm{os}}4x = 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x\]

Như vậy thì vế trái được viết lại:
\[1 - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 4x} \right) = 1 - \left( { - c{\rm{os}}4x} \right) = 1 + c{\rm{os}}4x = 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x\]

Ta đã biết hàm cos tuần hoàn với chu kì \[T = 2\pi \]

Nghĩa là:

\[c{\rm{os}}\left( {x + k2\pi } \right) = \cos x;\forall x \in R\]

Do đó:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {10\pi  - 2x} \right) = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( { - 2x} \right) = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x\]

Như vậy phương trình ban đầu được viết lại:
\[2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x.\sin 4x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x\]

Chuyển vế đặt \[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x\]

làm nhân tử chung, ta được phương trình tích:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x.\left( {2\sin 4x - 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 c{\rm{os}}2x = 0 \\
 2\sin 4x - 1 = 0 \\
 \end{array} \right.\]

Với phương trình:

\[c{\rm{os}}2x = 0\]

ta có nghiệm:

\[\begin{array}{l}
 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};k \in Z \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[2\sin 4x - 1 = 0\]

ta có nghiệm như sau:

\[\begin{array}{l}
 \sin 4x = \frac{1}{2} \\
 \sin 4x = \sin \frac{\pi }{6} \\
 \left[ \begin{array}{l}
 4x = \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\
 4x = \pi  - \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{{24}} + m2\pi ;m \in Z \\
 x = \frac{{5\pi }}{{24}} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có ba nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{{24}} + m2\pi ;m \in Z \\
 x = \frac{{5\pi }}{{24}} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]