Giải phương trình \[\frac{{{{\cot }^2}x - {{\tan }^2}x}}{{c{\rm{os}}2x}} = 16\left( {1 + c{\rm{os}}4x} \right)\]

Điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 \cos x \ne 0 \\
 \sin x \ne 0 \\
 c{\rm{os}}2x \ne 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x \ne k\pi  + m\pi ;m \in Z \\
 2x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne k\frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x \ne \frac{\pi }{4} + m\frac{\pi }{2};m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{4};k \in Z \\
 \end{array}\]

Các bạn cần có kỹ năng gộp nghiệm trong lượng giác.

Ta có công thức biến đổi sau:
\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + {\sin ^2}x = 1\]

\[\begin{array}{l}
 c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - {\sin ^4}x = \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + {{\sin }^2}x} \right) \\
  = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x \\
  = c{\rm{os}}2x \\
 \end{array}\]

Từ công thức nhân đôi của sin2x:
\[\begin{array}{l}
 \sin 2x = 2\sin x.\cos x \Rightarrow {\sin ^2}2x = 4{\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
  \Rightarrow {\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{1}{4}{\sin ^2}2x \\
 \end{array}\]

Áp dụng các công thức trên ta được:

\[\begin{array}{l}
 {\cot ^2}x - {\tan ^2}x = \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} \\
  = \frac{{c{\rm{os}}2x}}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}} \\
  = \frac{{4c{\rm{os}}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} \\
 \end{array}\]

Do đó, vế trái của phương trình sẽ là:
\[\frac{{{{\cot }^2}x - {{\tan }^2}x}}{{c{\rm{os}}2x}} = \frac{{\frac{{4c{\rm{os}}2x}}{{{{\sin }^2}2x}}}}{{c{\rm{os}}2x}} = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}\]

Áp dụng công thức hạ bậc, ta được:
\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x = \frac{{1 + c{\rm{os}}4x}}{2} \Rightarrow 1 + c{\rm{os}}4x = 2{\cos ^2}2x\]

Do đó phương trình ban đầu được biến đổi thành:

\[\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}} = 16.2{\cos ^2}2x\]

Áp dụng công thức nhân đôi ta được:

\[\begin{array}{l}
  \Leftrightarrow 4{\sin ^2}2x.{\cos ^2}2x = \frac{1}{2} \\
  \Leftrightarrow {\sin ^2}4x = \frac{1}{2} \\
 \left[ \begin{array}{l}
 \sin 4x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\
 \sin 4x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[\sin 4x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[\begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 4x = \frac{\pi }{4} + m2\pi ;m \in Z \\
 4x = \pi  - \frac{\pi }{4} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{{16}} + m\frac{\pi }{2};m \in Z \\
 x = \frac{{3\pi }}{{16}} + m\frac{\pi }{2};m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[\sin 4x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[\begin{array}{l}
 \sin 4x =  - \sin \frac{\pi }{4} = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \\
 \left[ \begin{array}{l}
 4x =  - \frac{\pi }{4} + p2\pi ;p \in Z \\
 4x = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + q2\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x =  - \frac{\pi }{{16}} + p\frac{\pi }{2};p \in Z \\
 x = \frac{{5\pi }}{{16}} + q\frac{\pi }{2};q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]