Giải phương trình \[\frac{{{{\sin }^2}x - 2}}{{{{\sin }^2}x - 4{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = {\tan ^2}\frac{x}{2}\]

Nhìn vào phương trình ta thấy có 2 cung đó là x và x/2. Do đó, theo cách nghĩ phản xạ, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác biến đổi cung x/2 về cung x.

Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Đối với bài này ta không nên đặt điều kiện ngay mà hãy biến đổi trước.
Áp dụng công thức hạ bậc:
\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 + c{\rm{os}}2.\frac{x}{2}}}{2} = \frac{{1 + \cos x}}{2}\]

\[ \Rightarrow 4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} = 4\frac{{1 + \cos x}}{2} = 2\left( {1 + \cos x} \right) = 2 + 2\cos x\]
Suy ra mẫu của vế trái được biến đổi:

\[{\sin ^2}x - 4{\cos ^2}\frac{x}{2} = {\sin ^2}x - \left( {2 + 2\cos x} \right) = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2 - 2\cos x\]

\[\begin{array}{l}
  =  - \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 2\cos x + 1} \right) \\
  =  - {\left( {\cos x + 1} \right)^2} \\
 \end{array}\]

Do đó điều kiện của phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 \cos x + 1 \ne 0 \\
 \frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2} + m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne \pi  + k2\pi ;k \in Z \\
 x \ne \pi  + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi ;k \in Z\]

Ta có:
\[{\sin ^2}x - 2 = {\sin ^2}x - 1 - 1 =  - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 1 =  - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 1 =  - \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 1} \right)\]

Do đó vế trái của phương trình được biến đổi về:
\[\frac{{{{\sin }^2}x - 2}}{{{{\sin }^2}x - 4{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{ - \left( {{{\cos }^2}x + 1} \right)}}{{ - {{\left( {c{\rm{os}}x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}x + 1}}{{{{\left( {c{\rm{os}}x + 1} \right)}^2}}}\]

Còn vế phải của phương trình được biến đổi như sau:
\[{\tan ^2}\frac{x}{2} = {\left( {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{x}{2}}}} \right)^2} = \frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\frac{{1 - \cos x}}{2}}}{{\frac{{1 + \cos x}}{2}}} = \frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}\]

Như vậy phương trình ban đầu được biến đổi như sau:
\[\frac{{{{\cos }^2}x + 1}}{{{{\left( {c{\rm{os}}x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}\]

Chuyển vế quy đồng, ta được:

\[\frac{{{{\cos }^2}x + 1 - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{{{\left( {c{\rm{os}}x + 1} \right)}^2}}} = 0\]

Như vậy thì ta có:

\[{\cos ^2}x + 1 - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 0\]

Tính toán và rút gọn ta được:

\[\begin{array}{l}
 {\cos ^2}x + 1 - \left( {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right) = 0 \\
 2{\cos ^2}x = 0 \\
 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 0 \\
 \end{array}\]

Phương trình này có nghiệm:

\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z\]

So với điều kiện thì phương trình có một nghiệm duy nhất:

\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z\]