Giải phương trình \[2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\] (Bài 28a/SGKNC11/41)

Phương trình:
\[2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\]

(Bài 28a/SGKNC11/41)

Đây là phương trình bậc hai của hàm cos.

Ta đặt:

\[t = \cos x\]

Điều kiện của t:

\[ - 1 \le t \le 1\]

Phương trình bậc hai ban đầu được đưa về dạng:

\[2{t^2} - 3t + 1 = 0\]

Đây là phương trình bậc hai với hệ số: a = 2; b = -3; c = 1.

Nhận thấy a + b + c = 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[{t_1} = 1\]

và:

\[{t_2} = \frac{1}{2}\]

Với:

\[{t_1} = 1\]

Ta có phương trình:

\[\cos x = 1\]

Đây là phương trình lượng giác đặc biệt, nghiệm của phương trình này:

\[x = k2\pi ;k \in Z\]

Với:
\[{t_2} = \frac{1}{2}\]

Ta có phương trình:

\[\cos x = \frac{1}{2}\]

Dễ thấy:

\[c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\]

Do đó, ta có phương trình lượng giác cơ bản:

\[\cos x = c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

\[\cos x = c{\rm{os}}\alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \alpha  + k2\pi ;k \in Z \\
 x =  - \alpha  + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Ta được:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{6} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Vậy nghiệm của phương trình trên là:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{6} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]