Giải phương trình \[\left| {\cos x + 2\sin 2x - c{\rm{os}}3x} \right| = 1 + 2\sin x - c{\rm{os}}2x\]

Kiến thức cần biết:

• Sử dụng công thức tổng thành tích:

\[\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\]

• Công thức biến đổi thông dụng: Xem tại đây
• Công thức cos đối:

\[\sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\]

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả, đây là một bài tương đối đơn giản, tuy nhiên có vẻ phần điều kiện sẽ gây khó khăn cho một số bạn thiếu kinh nghiệm.

Ta có công thức biến đổi:

\[1 - c{\rm{os}}2x = 2{\sin ^2}x\]

Do đó vế phải được biến đổi thành:

\[1 + 2\sin x - c{\rm{os}}2x = 2{\sin ^2}x + 2\sin x = 2\sin x.\left( {\sin x + 1} \right)\]

Dế thấy:

\[\sin x + 1 \ge 0,\forall x \in R\]

Do đó:

\[\begin{array}{l}
 1 + 2\sin x - c{\rm{os}}2x \ge 0 \Leftrightarrow \sin x \ge 0 \\
  \Leftrightarrow k2\pi  \le x \le \pi  + k2\pi ;k \in Z \\
 \end{array}\]

Ở vế trái của phương trình, ta áp dụng công thức tổng thành tích:
\[\begin{array}{l}
 \cos x - c{\rm{os}}3x =  - 2\sin \left( {\frac{{x + 3x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{x - 3x}}{2}} \right) =  - 2\sin 2x.\sin \left( { - x} \right) \\
  = 2\sin 2x.\sin x \\
 \end{array}\]

Do đó phương trình ban đầu được đưa về dạng:
\[\begin{array}{l}
 \left| {2\sin 2x.\sin x + 2\sin 2x} \right| = 2\sin x.\left( {\sin x + 1} \right) \\
  \Leftrightarrow \left| {2\sin 2x\left( {\sin x + 1} \right)} \right| = 2\sin x.\left( {\sin x + 1} \right) \\
 \end{array}\]

Do điều kiện có nghiệm của phương trình ta đã tìm ở trên nên phương trình tương đương với:

\[\begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 \sin 2x = \sin x \\
 \sin 2x =  - \sin x \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 2x = x + k2\pi ;k \in Z \\
 2x = \pi  - x + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \sin 2x = \sin \left( { - x} \right) \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 x = k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{3} + m\frac{{2\pi }}{3};m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 2x =  - x + n2\pi ;n \in Z \\
 2x = \pi  - \left( { - x} \right) + p2\pi ;p \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 x = k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{3} + m\frac{{2\pi }}{3};m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 3x = n2\pi ;n \in Z \\
 x = \pi  + p2\pi ;p \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 x = k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{3} + m\frac{{2\pi }}{3};m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = n\frac{{2\pi }}{3};n \in Z \\
 x = \pi  + p2\pi ;p \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{3} + m2\pi ;m \in Z \\
 x = \pi  + n2\pi ;n \in Z \\
 x = \frac{{2\pi }}{3} + p2\pi ;p \in Z \\
 x = \pi  + q2\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right.\]