Chứng minh $$\left( {{n^{12}} - {n^8} + {n^4} - 1} \right) \vdots 512$$ với n lẻ

Ta có:

$$\begin{array}{l}  {n^{12}} - {n^8} + {n^4} - 1 = {n^8}\left( {{n^4} - 1} \right) - \left( {{n^4} - 1} \right) = \left( {{n^4} - 1} \right)\left( {{n^8} - 1} \right) \\   = {\left( {{n^4} - 1} \right)^2}\left( {{n^4} + 1} \right) \\   = {\left( {\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)} \right)^2}\left( {{n^4} + 1} \right) \\   = {\left( {n - 1} \right)^2}{\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {{n^2} + 1} \right)^2}\left( {{n^4} + 1} \right) \\  \end{array}$$

Với hai số chẵn a, b liên tiếp ta luôn có:
$$\left[ \begin{array}{l}  \left\{ \begin{array}{l}  a = 2k;k \in Z \\  b = 4k';k' \in Z \\  \end{array} \right. \\  \left\{ \begin{array}{l}  a = 4k;k \in Z \\  b = 2k';k' \in Z \\  \end{array} \right. \\  \end{array} \right.$$

Khi n lẻ, suy ra các thừa số:
$$n - 1;n + 1;{n^2} + 1;{n^4} + 1$$

đều là số chẵn.

Áp dụng nhận xét trên giả sử:

$$n - 1 = 2k \Rightarrow n + 1 = 4k'$$

Do đó từ $${\left( {n - 1} \right)^2}{\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {{n^2} + 1} \right)^2}\left( {{n^4} + 1} \right)$$

ta có được:

$$\left( {{{\left( {n - 1} \right)}^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}{{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2}\left( {{n^4} + 1} \right)} \right) \vdots \left( {{2^2}{{.4}^2}{{.2}^2}.2} \right)$$

hay:

$$\left( {{n^{12}} - {n^8} + {n^4} - 1} \right) \vdots 512$$

(Điều phải chứng minh)

Tương tự cho trường hợp:
$$n - 1 = 4k \Rightarrow n + 1 = 2k'$$