Chứng minh \[\left( {{n^{12}} - {n^8} + {n^4} - 1} \right) \vdots 512\] với n lẻ

Ta có:

\[\begin{array}{l}
 {n^{12}} - {n^8} + {n^4} - 1 = {n^8}\left( {{n^4} - 1} \right) - \left( {{n^4} - 1} \right) = \left( {{n^4} - 1} \right)\left( {{n^8} - 1} \right) \\
  = {\left( {{n^4} - 1} \right)^2}\left( {{n^4} + 1} \right) \\
  = {\left( {\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)} \right)^2}\left( {{n^4} + 1} \right) \\
  = {\left( {n - 1} \right)^2}{\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {{n^2} + 1} \right)^2}\left( {{n^4} + 1} \right) \\
 \end{array}\]

Với hai số chẵn a, b liên tiếp ta luôn có:
\[\left[ \begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 a = 2k;k \in Z \\
 b = 4k';k' \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 a = 4k;k \in Z \\
 b = 2k';k' \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right.\]

Khi n lẻ, suy ra các thừa số:
\[n - 1;n + 1;{n^2} + 1;{n^4} + 1\]

đều là số chẵn.

Áp dụng nhận xét trên giả sử:

\[n - 1 = 2k \Rightarrow n + 1 = 4k'\]

Do đó từ \[{\left( {n - 1} \right)^2}{\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {{n^2} + 1} \right)^2}\left( {{n^4} + 1} \right)\]

ta có được:

\[\left( {{{\left( {n - 1} \right)}^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}{{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2}\left( {{n^4} + 1} \right)} \right) \vdots \left( {{2^2}{{.4}^2}{{.2}^2}.2} \right)\]

hay:

\[\left( {{n^{12}} - {n^8} + {n^4} - 1} \right) \vdots 512\]

(Điều phải chứng minh)

Tương tự cho trường hợp:
\[n - 1 = 4k \Rightarrow n + 1 = 2k'\]