Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh rằng: \[{x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2\]

Kiến thức cần nắm:

• Bất đẳng thức Cauchy.
• Tính chất bất đẳng thức.

Mức độ khó: tương đối dễ.

Chúng ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[xy.xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2\]

Chúng ta đã chứng minh:

\[xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2{\rm{       }}\left( 1 \right)\]

Các bạn xem lại Bài 1

Chúng ta dễ dàng chứng minh được:
\[xy \le 1\]

bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng:

\[ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với x + y = 2:

\[xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{2^2}}}{2} = 1{\rm{          }}\left( 2 \right)\]

Áp dụng tính chất bất đẳng thức cho (1) và (2):
\[\left\{ \begin{array}{l}
 0 \le a \le b \\
 0 \le c \le d \\
 \end{array} \right. \Rightarrow a.c \le b.d\]

ta được điều phải chứng minh:

\[xy.xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 1.2\]

hay:

\[{x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2\]