Giải phương trình \[\begin{array}{l} c{\rm{o}}{{\rm{s}}^5}x + {\sin ^7}x + \frac{1}{2}\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x + {{\sin }^5}x} \right)\sin 2x \\ = \sin x + \cos x \\ \end{array}\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức nhân đôi:

\[\sin 2x = 2\sin x.\cos x\]

• Công thức hạ bậc:

\[\begin{array}{l}
 {\sin ^2}x = \frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} \\
 c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} \\
 \end{array}\]

• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

\[\begin{array}{l}
 {\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2} \\
 {\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} \\
 \end{array}\]

• Phương pháp Horner.

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả, bài này ở mức độ tương đối, vừa phải.

Ta có:
\[\begin{array}{l}
 \frac{1}{2}\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x + {{\sin }^5}x} \right)\sin 2x = \frac{1}{2}\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x + {{\sin }^5}x} \right).2\sin x.\cos x \\
  = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x.\sin x + {\sin ^6}x.\cos x \\
 \end{array}\]

Biến đổi vế trái của phương trình:
\[\begin{array}{l}
 VT = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^5}x + {\sin ^7}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x.\sin x + {\sin ^6}x.\cos x \\
  = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x.\left( {\cos x + \sin x} \right) + {\sin ^6}x.\left( {\cos x + \sin x} \right) \\
  = \left( {\cos x + \sin x} \right).\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x + {{\sin }^6}x} \right) \\
  = \left( {\cos x + \sin x} \right).\left[ {{{\left( {\frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2}} \right)}^3}} \right] \\
  = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left[ {\frac{{1 + 2\cos 2x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x}}{4} + \frac{{1 - 3\cos 2x + 3{{\cos }^2}2x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}2x}}{8}} \right] \\
  = \frac{1}{8}\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {2 + 4\cos 2x + 2{{\cos }^2}2x + 1 - 3\cos 2x + 3{{\cos }^2}2x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}2x} \right) \\
  = \frac{1}{8}\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( { - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}2x + 5{{\cos }^2}2x + c{\rm{os}}2x + 3} \right) \\
 \end{array}\]

Phương trình ban đầu được biến đổi thành:
\[\begin{array}{l}
 \frac{1}{8}\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( { - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}2x + 5{{\cos }^2}2x + c{\rm{os}}2x + 3 - 8} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \cos x + \sin x = 0{\rm{     }}\left( 1 \right) \\
  - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}2x + 5{\cos ^2}2x + c{\rm{os}}2x - 5 = 0{\rm{      }}\left( 2 \right) \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Giải phương trình (1):
\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi ;k \in Z \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z\]

Công thức biến đổi sinx + cosx

Giải phương trình (2):

Chúng ta dễ thấy đây là phương trình bậc ba ẩn là cos2x, không khó để có thể chỉ ra một nghiệm của phương trình này là cos2x = 1. Sử dụng phương pháp Horner, chúng ta đưa phương trình về dạng:

\[\begin{array}{l}
 \left( {c{\rm{os}}2x - 1} \right)\left( { - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x + 4\cos 2x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \cos 2x = 1 \\
 c{\rm{os}}2x =  - 1 \\
 c{\rm{os}}2x = 5(l) \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow 2x = m\pi ;m \in Z \Leftrightarrow x = m\frac{\pi }{2};m \in Z \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z \\
 x = m\frac{\pi }{2};m \in Z \\
 \end{array} \right.\]