Trong nhiều bài toán lượng giác, chúng ta cần biến đổi công thức lượng giác tổng \[\sin x + \cos x\] về các dạng khác như sau:
\[\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x + \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x = \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x} \right) \\
= \sqrt 2 .\left( {\sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + \cos x.\sin \frac{\pi }{4}} \right) \\
= \sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \\
\end{array}\]
Do đó chúng ta có thể suy ra miền giá trị của tổng sinx + cosx:
\[ - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \]
Tương tự, ta cũng có biến đổi sau:
\[\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x + \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x = \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x} \right) \\
= \sqrt 2 .\left( {\cos x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + \sin x.\sin \frac{\pi }{4}} \right) \\
= \sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x + \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x = \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x} \right) \\
= \sqrt 2 .\left( {\cos x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + \sin x.\sin \frac{\pi }{4}} \right) \\
= \sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \\
\end{array}\]
Ta cũng có:
\[ - 1 \le c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \]
\[ - 1 \le c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \]
Tổng kết lại:
\[\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \\
\sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \\
\end{array} \right. \\
- \sqrt 2 \le \sin x + \cos x \le \sqrt 2 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \\
\sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \\
\end{array} \right. \\
- \sqrt 2 \le \sin x + \cos x \le \sqrt 2 \\
\end{array}\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét
Cám ơn bạn đã góp ý cho Gia sư Khánh Hòa. Chúc bạn sức khỏe và thành công.