Chứng minh rằng \[{\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\]

Ta có:

\[{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^2}\]

Xét khai triển:

\[{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + ... + C_n^n\]

Suy ra:

\[{\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^2} = \left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + ... + C_n^n} \right).\left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + ... + C_n^n} \right)\]

Xét số hạng chứa \[{x^n}\]
\[\begin{array}{l}
 C_n^0{x^n}.C_n^n + C_n^1{x^{n - 1}}.C_n^{n - 1}{x^1} + ... + C_n^n.C_n^0{x^n} \\
  = {x^n}.\left( {C_n^0.C_n^n + C_n^1.C_n^{n - 1} + ... + C_n^n.C_n^0} \right) \\
 \end{array}\]

Ap dụng công thức:

\[C_n^k = C_n^{n - k}\]

Ta suy ra số hạng chứa \[{x^n}\] sẽ là:
\[{x^n}.\left( {C_n^0.C_n^0 + C_n^1.C_n^1 + ... + C_n^n.C_n^n} \right)\]

hay:

\[{x^n}.\left[ {{{\left( {C_n^0} \right)}^2} + {{\left( {C_n^1} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^n} \right)}^2}} \right]\]

Xét khai triển:
\[{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} \]

Số hạng chứa  \[{x^n}\] ứng với k = n. Do đó, hệ số của số hạng chứa  \[{x^n}\] sẽ là \[C_{2n}^n\]

Do đó ta có điều phải chứng minh.